Blending finite elements and neural networks

Els 'EEBE Seminars on Computational Mechanics - Spring 2024', coordinats pels professors de l'Escola Lluís Jofre i Jose Muñoz arriben amb una nova sessió.

En aquesta ocasió és el torn de la ponència de Santiago Badia, professor de Matemàtiques Computacionals a la Monash University (Melbourne).

Resum:

L'ús de xarxes neuronals per aproximar equacions en derivades parcials (EDPs) ha guanyat una atenció significativa en els darrers anys. Tanmateix, les xarxes neuronals informades per la física mostren deficiències d'exactitud i fiabilitat que les poden fer impracticables. Alguns dels problemes són la imposició de condicions de contorn, la elecció dels punts de col·locació en xarxes neuronals informades per la física i la integració de les xarxes neuronals informades per la física variacional. En particular, l'aproximació d'EDPs amb fenòmens localitzats, com ara gradients pronunciats i singularitats, segueix sent un repte, a causa de les funcions de cost mal definides en termes de mostreig de residus puntuals o d'integració numèrica deficient. Proposem un marc general per resoldre problemes directes i inversos subjectes a equacions en derivades parcials que es basa en la interpolació d'una xarxa neuronal en un espai d'elements finits que s'adapta progressivament a la solució durant el procés d'entrenament per equidistribuir un indicador d'error a posteriori. L'ús de la interpolació adaptativa és essencial per preservar les capacitats d'aproximació no lineal de les xarxes neuronals per abordar eficaçment problemes amb característiques localitzades. L'entrenament es basa en una optimització basada en gradient d'una funció de pèrdua basada en la norma (dual) del residu d'element finit de la xarxa neuronal interpolada. L'adaptació automàtica de la malla (és a dir, el refinament i l'amuntegament) es realitza en funció d'indicadors d'error a posteriori fins a assolir un cert nivell d'exactitud. La metodologia proposada es pot aplicar a problemes indefinits i asimètrics. Fem un anàlisi numèric detallat de l'esquema i demostrem diverses estimacions d'error a priori, en funció de l'expressivitat de la xarxa neuronal comparada amb la malla d'interpolació. Els nostres experiments numèrics confirmen l'eficàcia del mètode per capturar gradients pronunciats i singularitats per a problemes directes d'EDP, tant en escenaris 2D com en 3D. També mostrem que l'estratègia de precondicionament proposada (és a dir, utilitzar una norma de residu dual del residu com a funció de cost) millora la robustesa de l'entrenament i accelera la convergència. Finalment, proposem un solucionador eficaç d'un sol bucle per resoldre problemes inversos.

Bio del ponent:

Santiago Badia és professor distingit de Matemàtiques Computacionals a la Universitat Monash (Melbourne), la universitat més gran d'Austràlia. Prèviament, va ser professor a la UPC (2009-2019), investigador al Sandia National Labs (2007-08, EUA) i postdoctorant al Politecnico di Milano (2006, Itàlia). Ha rebut diverses distincions per la seva recerca, com els Premis SEMNI i ECCOMAS 2006 a la millor tesi doctoral en Mecànica Computacional a Espanya i Europa, el Premi Juan Carlos Simo de la SEMNI, el Premi Jove Investigador en Matemàtiques Aplicades de la SEMA 2012, ICREA Academia de la Generalitat de Catalunya i el Premi Agustín de Betancourt 2016 de la Reial Acadèmia d'Enginyeria d'Espanya. Va ser el receptor d'una Beca ERC Starting Grant 2010, dues Beca ERC Proof of Concept i dos projectes Discovery de l'ARC (Australian Research Council). La seva recerca ha contribuït a l'avançament i comprensió dels mètodes d'elements finits en règims singularment perturbats, sistemes indefinits, problemes multifísics i multiescala. Ha fet nombroses contribucions sobre elements finits estabilitzats i compatibles, mètodes d'elements finits no ajustats (o incrustats), solvers de descomposició de domini paral·lels a gran escala i tècniques de connexió. També promou i lidera projectes de programari científic de codi obert com ara Gridap.